Заранее извиняюсь за длинный ответ, но решил рассказать всю историю. Возможно, вам или кому-то еще будет полезно.
Мы (я и моя невеста) нашли и арендовали место по следующей схеме: На следующий день после приезда я пошел в банк и открыл счет, положил все наличные деньги, которые привез ($10-12, точно не помню). Я заранее читал форум и здесь люди советовали открыть счет в Bank of America, спрашивайте security credit card (почитайте, поймете разницу с обычной картой). Затем, в салоне мобильной связи открыл счет (получил симку и договор). В SSA подал документы на SSN, они выдают бумагу о том, что ваш SSN изготавливается. Все это было сделано в первые 3-4 дня, так как нам было жутко интересно не только делами заниматься, а гулять и исследовать город.
Где-то еще через 3 дня осознали, что скоро нужно будет выезжать из квартиры и было бы хорошо найти постоянное жилье. Квартира, в которой жили в тот момент, была забронирована мной на 2 недели через Airbnb еще из России. Квартира, находилась на юге Чикаго (да, на том самом юге, который криминальный, и которым пугают всех приезжих), в районе Hyde Park. Нас никто не пугал, пока мы были в России, нужные темы на форуме чудом обошли меня стороной, и я просто снял то, что было на тот момент самым оптимальным по цене/качеству/доступности транспорта на сайте Airbnb. Мы прожили неделю в этом районе и влюбились в него, оказалось, что все, что южнее даунтауна (центра города) - районы чернокожих и не особо безопасные, но именно в Hyde Park находится университет Чикаго, здесь живет много преподавателей, студентов (в том числе иностранных), поэтому здесь много полиции и они следят за порядком. Так что именно именно этот райончик -исключение из правила “южный Чикаго опасен”, и является оазисом спокойствия. Вокруг спокойно, красиво, от квартиры до автобуса 5 минут пешком, автобусом до центра города 20 минут (по хайвею - скоростной трассе, то есть без пробок и кучи остановок), продуктовый рядом с квартирой. Решил, что хочу остаться жить в этом районе на первое время. Начали искать жилье.
Итак, наши поиски нового жилья начались с того, что мы накупили газет с объявлениями (в старбаксе продаются) и параллельно просматривал объявления на craigslist (популярный сайт объявлений в США). На форуме люди писали, что можно еще в гостиницах поспрашивать номера на помесячный съем, они выходят по цене как квартиры примерно.
Решил начать с гостиниц. Зашли в парочку, нам показали ужасные номера за 600-700 долларов. Я до сих пор очень жалею, что я не сделал фото этих номеров, чтобы показать всем вам 
это были номера из американских фильмов ужасов про убийства - поломанные шкафы, какой-то разбросанный мусор, жуткая вонь, исписанные стены. Короче, я не утрирую, это реально номера из фильмов) После такой картины и такого ценника мы приуныли, поняли, что в пределах тысячи (как нам обещали на форуме) мы ничего приличного не снимем. Решили попробовать объявления.
Газета и craigslist пестрили предложениями, но либо это были долгосрочные предложения - договор не менее, чем на 12 месяцев, либо слишком большие апартаменты (я искал studio - однокомнатную по-российским меркам), либо ценник был 1000 и выше. Решили отложить пока объявления и попробовать риэлтора подключить.
Нашли местное агентство, пришли к ним. Там нам сразу сказали, что предложений менее 800-900 не бывает, мы уже устали физически и морально за эти дни, поэтому были согласны на все и поехали с агентом смотреть варианты. Варианты были получше, чем в тех отелях, но все как-то все странно было, не очень опрятно и достаточно далеко от автобусной остановки, которая была у нас под боком до этого и мы к ней уже привыкли. Сказали “спасибо, мы подумаем” и пошли пробовать новые варианты.
На форумах люди писали, что рекламные объявления о сдаче квартир висят прямо на домах, на входных дверях, мы решили проверить и просто начали гулять по своему району и смотреть по сторонам. Люди оказались правы, практически 1/5 домов имели вывески о том, что в данном доме сдается жилье. Увидели одну вывеску - закрыто, вторую - тоже никого, оказалось, что воскресенье и никто не работает. Дождались понедельника и прошлись по этим местам снова - в одном все занято, в другом слишком дорого, в третьем нас отправили в четвертое место и там, наконец, сказали, что есть свободная студия! Ура!
Меня расспросили кто я, откуда, как долго собираюсь жить. Я пробовал уговорить сдать квартиру на помесячно или хотя бы контракт на 3 месяца, но там сказали, что менее 6 месяцев не сдадут, “а лучше берите сразу 12”. Договорились на 6, нам показали студию - приятная комната с косметическим ремонтом нам показалась дворцом по сравнению с тем, что мы видели до этого Цена устроила - $705, спортзал и стирка в подвале, остановка близко, в 5 минутах от того места, где мы жили сейчас. Счастье есть!
Но не тут-то было. Нам еще предстоял раунд с заполнением анкет и проверки/одобрением. Оказывается, тут есть практика проверки (благонадежности, что ли) будущих жителей - нужно заполнить анкету, заплатить невозвратную комиссию $25, и ждать одобрения/отказа. Менеджер спросила насчет гарантий оплаты 6 месяцев, на которые я подписываюсь, я признался, что только приехал и работы еще нет, но у меня есть $10k и их хватит, чтобы оплатить жилье. Менеджер сказала, что этого достаточно и попросила свежую выписку из банка. Я сходил в банкомат и принес выписку о состоянии счета. Также показад бумажки о том, что SNN изготавливается, мой паспорт и визу резидента (на той визе, которая у вас в паспорте, написано, что она типа resident и действует 1 год - то есть вы ей пользуетесь, пока не получите на руки ГК), показал договор с сотовым оператором и что-то еще, что она у меня просила. Анкета была заполнена, комиссия уплачена, настали 30 минут ожидания.
Пока ждали, решили от скуки порассматривать почтовые ящики в холле, почитать фамилии. И тут же наткнулись на фамилию, похожую то ли на русскую, то ли на польскую - непонятно решили, что если останемся здесь, то проверим, кто это. Но в этот момент в холл заходит девушка и идет проверять тот самый почтовый ящик. Мы с невестой переглянулись, но к незнакомому человеку было обращаться неудобно как-то, поэтому просто начали разговаривать по-русски и следили за тем, будет ли реакция со стороны жильца. Девушка глазом не моргнула и ушла, а мы сдели вывод, что она все таки не из России. Через минуту девушка вернулась и призналась, что все поняла, но неудобно было встревать в разговор, но любопытство перебороло. Так мы и познакомились, это был наш первый знакомый человек в большом и незнакомом Чикаго.
30 минут прошло, менеджер сказала, что мне одобрили проживание! Заселяться можно с завтрашнего дня. Ура, это победа!
Отмечу, что все эти приключения были intermediate уровнем английского, без большой практики разговорного. То есть много раз переспрашивал, повторял, активно пользовался руками нас ни разу нигде не послали, везде терпеливо слушали, переспрашивали в случае чего.
Надеюсь, наш опыт вам поможет.