будут ли последствия, если я не буду ждать год, до подачи грин карты и выеду из страны, на каких основаниях можно будет вернуться или приезжать иногда с туристической визой?
Не могу нигде найти информацию о детях, после получения родителями убежища
Да
Ваш вопрос сформулирован совершенно непонятно, поэтому Вы и не можете найти ответ. 
Что за квиток, что за “приглашение родителей”, при чем тут беженский статус и какая связь между всем этим и туристической визой?
Если Вы имеете в виду, можно ли выезжать из США во время процедуры смены статуса - то да, но для возвращения нужно получить документ под названием advanced parole. Если во время рассмотрения заявки на убежище, то в теории - тоже да, с тем же advanced parole. Но на практике все ресурсы, которые я видел, очень не советуют это делать без совсем крайней на то необходимости.
Если статус беженца уже получен, то до получения грин-карты перед отъездом нужно получить Refugee Travel Document.
Но в любом случае, беженцам, как правило, нельзя возвращаться в ту страну, из которой они бежали. Это может привести к отзыву статуса, если не вообще к запрету за обман.
Чтобы задать правильный вопрос, нужно знать больше половины ответа. О каких детях идет речь? Если о детях до 21 года, которые находятся в США, то они включаются в дело и получают статус вместе с родителями. Если о тех, кто остался дома, то в случае получения родителями статуса беженца, они могут подать петицию на детей до 21 года. Family of Refugees and Asylees | USCIS
Если речь о детях старше 21 года, то только через воссоединение после получения родителями грин-карты.